(Proof) written by 上級大将

どうもこんにちは
未来のイグノーベル賞、陸軍上級大将です（笑）(^o^)/

はなからイグノーベル賞を狙う科学者はいないでしょうね（笑）

みなさん、ノーベル賞を目指しましょ。結果的にはイグノーベル賞でも（笑）

今日は、そんなイグノーベル賞大好きな陸軍上級大将の好きな証明方法について、

好きな証明方法Best3

1位、数学的帰納法

2位、背理法

3位、対偶の証明

数学的帰納法とは、「コレとコレはそうだから全部そうじゃね？」って証明方法

背理法は「そうじゃないとすると、ここに矛盾点が出るだろ？　ならそうなんだよ」って証明方法

対偶の証明は「コレが成り立つなら、逆接的にコレは成り立つよね？」って証明方法です。

別に、正面きって証明する方法もあるし、消去法だって(これは背理法に似ているが)れっきとした証明方法です。数学ではあんまり使いませんが、演繹法なんてのもあります。

では、実践。

「対偶の証明」

証明内容：a≧0,b≧0のとき、『a+b=2√(ab)⇒a=b』

(Proof)対偶『a≠b⇒a+b≠2√(ab)』を示す。

(a+b)^2-{2√(ab)}^2

=a^2+2ab+b^2-4ab

=a^2-2ab+b^2

=(a-b)^2≠0 (∵a≠bより、a-b≠0)

よって、対偶『a≠b⇒a+b≠2√(ab)』が示された。

∴『a+b=2√(ab)⇒a=b』は成り立つ

(Q.E.D.)

この証明方法は命題に特化したものです。使えない、使っても仕方が無いものも多いです。

「背理法」

証明内容：√2が無理数である

(Proof)背理法により示す。

√2が有理数であるとすると、

√2=a/b (ただし、a/bはaとbが共通因数を持たない既約分数)と、表せる。

両辺二乗

2=a^2/b^2

⇔2b^2=a^2

aを二乗したものが2の倍数なので、aは2

∴a=2c (cは整数)と表せるから、

2b^2=4c^2

⇔b^2=2c^2

b^2か2の倍数より、bは2の倍数

∴b=2d (dは整数)と表せる。

∴√2=a/b=2c/2dと、なり、a/bが既約分数であることと、矛盾する。これは、√2を有理数とした仮定のためである。

∴√2は無理数である。

(Q.E.D.)

この証明方法は基本的に、今回のように、有理数と無理数というような、相入れない二つの分類ができるときに有効です。困ったときの背理法というように、わりと万能ではあります。

「数学的帰納法」

証明内容：全ての自然数nについてa1=1,an+1=3an+3^(n-1)のとき、an=3^(n-2)×(n+2)…①が成り立つことを証明せよ

(Proof)

(i)n=1のとき、a1=3^(1-2)×(1+2)=1より①は成立。

(ⅱ)n=kのとき、①が成立、すなわちak=3^(k-2)×(k+2)が成立すると、仮定する。

このとき、n=k+1で①が成立する、すなわち、ak+1=3^(k-1)×(k+3)となることを示す。

ak+1=3ak+3^(k-1)=3×3^(k-2)×(k+2)+3^(k-1)=3^(k-1)×(k+2)+3^(k-1)=3^(k-1)×(k+3)

よって、n=k+1で、①成立。

∴(ⅰ)(ⅱ)より①は全ての自然数nについて成り立つ

(Q.E.D.)

数学的帰納法は使用範囲が限られていて、証明対象が整数ないしは自然数のときだけに有効です。二度ある事は三度あるの感覚の証明方法です。今回は僕が正攻法で、漸化式を解いてそれを証明してる出来レースみたいなものです（笑）


(Proof)で始めて、(Q.E.D.)で終えるのは僕の好みです。