「1+2+3+・・・=-1/12」の証明みたいなもの

どうも、最近投稿が激減して申し訳ない限りでございます。

ネタ切れではないのでご安心を。

そして、陸軍元帥よ、投稿をしろ……

さて、今回は「1+2+3+……=-1/12」という数式についてです。

この式は目が覚めると公式が思い浮かぶという(事実かは知りませんが、どんどん新しい公式を思いついたのは本当のようです)ラマヌジャンというインド人数学者が発見し、共同研究者が証明したんだったかな？

では、証明(らしいものを)してみますか……

(Proof)

S=1+2+3+……・・・①

T=1-2+3-4+……・・・②とすると、

T=1+(2-4)+3+(4-8)+……

T=(1+2+3+……)-(4+8+12+……)

T=(1+2+3+……)-4(1+2+3+……)

T=S-4S (∵①)

T=-3S

∴S=-T/3・・・③

また、

U=1-1+1-1+……・・・④とすると、

T=1-2+3-4+……

T=1-(1+1)+(1+2)-(1+3)+……

T=(1-1+1-1+……)-(1-2+3-4+……)

T=U-T (∵②④)

2T=U

∴T=U/2・・・⑤

③,⑤より、S=-U/6・・・⑥

また、

1-U=1-(1-1+1-1+……)

1-U=1-1+1-1+1-……

1-U=U (∵④)

1=2U

∴U=1/2・・・⑦

⑦を⑥に代入して、S(=1+2+3+……)=-1/12

(Q.E.D.)

ってことらしいのですが、違和感が……

とりあえずわかりやすいのは、⑦ですね。

1

1-1=0

1-1+1=1

1-1+1-1=0

・・・

となるので、U=1 or 0 (これは理系風に言うと振動であって、本当は間違い)です。U≠1/2です。

しかし、どこがどう間違っているのかは指摘できないんです。

間違いと言うなれば、U(Tも含む、振動するものに)値を求めたところが間違いです。1-1+1-……を無限に繰り返したとして、1か0になりそうですが、その次が考えられるわけで、値を定めることなんて本当はできないはずなんです。

よく考えたらSをそのまま計算してるとこもおかしいです

ですが、上手く否定ができないんですよね……

無限とはきっと、そういった矛盾をはらむのですね。

残念ながら、詳しくは僕もよくわからないんです。現在、この式がどういう位置づけをされてるのかも知りません。

高等数学を学べば別かも知れないですが、高校数学までの僕には説明できるのはここまでです。

多分、実数じゃないんだろうな……

ちなみに、ラマヌジャンは天才とかそういった次元の存在ではないらしいです。神とか真理みたいな存在です。詳しくはお近くの数学史に詳しい先生へ(^o^)/