正の数、負の数からベクトルへ written by 上級大将

チャオッス！(^o^)/

皆さん、いい数学ライフを満喫しているでしょうか（笑）？

と、いうことで、今回はタイトル通りです。

おそらく、どなたも中学一年生の数学で、一番最初に習ったであろう「正の数、負の数」の分野と一般に高校二年生くらいで習う「ベクトル」の話です。

なぜ、中学数学と数Bを関連づけるかは、おいおい説明していくので、上から順に読んでください(^o^)/

中学一年生になってから、皆さんはどのように負の数習ったのかはわかりませんが、たぶんこんな問題例題が出てきたんじゃないですかね。

ある地点から、北に10メートル進んだとき、南に何メートル進んだでしょう

この場合、当然-10メートルが正解です。

また、数直線を使った説明をされたんじゃないですかね

ある数直線上で、基準点Oから右にひとメモリの点を1とするとき、左にひとメモリの点を-1とする。

みたいな感じで

そして、計算の法則としては、

-(-a)=a

-a×(-b)=abとか何とか、あったかと思います。

でも、この負の数の考え方って全てベクトルありきなんですよ！

いや、まあ実際にベクトルと負の数の考え方のどちらが先に出来たかなんてのは、別に数学史好きではないので、よくわかりません。
こういうときは、うちの学校の、某クラナド好きの数学の先生(数学を教えるのがとても好きな人。中1に対してこの時期に補習をやってるほど。必殺技は“テレスコーピング・メソッド”だ！)にでも訊けばわかるのでしょうが、まあ、さして興味もありません。

では、ベクトルとは？

ようは「向き」を持った量です。僕はこれが原因で、物理教諭と喧嘩中です（笑）

で、対となるのはスカラー。こちらは向きを持たない量です。

さて、では、正の数負の数のどこがベクトルなのか？

先ほどの、

ある地点から、北に10メートル進んだとき、南に何メートル進んだでしょう

と、いう話に出てくる、「北」や「南」とは何でしょう？

もちろん、量ではありませんね？　これは「方角」つまり、基準点からの「向き」です。つまり、問題は「北向で、大きさが10メートルのベクトル」です。そして、「反対の向き」を意味するのが、「-」です。

なので、これを「南向き」からみると、どうなるか？

「向きと反対」なので、「-南向きに10メートル」まあ、数値の方に付けた方が見やすいし、「南向きに-10メートル」と。

こういうことです。

でも、これでは、「ベクトルの逆向き」ありきの「負の数」なのか、「負の数」ありきの「ベクトルの逆向き」なのか、判断はつきません。ですが、数直線を見て下さい。

皆さん、ベクトルは何だと教わりました？　僕は最初に「矢印」だと説明されたのを覚えております。

数直線ってどう見ても「矢印」ですよね？

つまり、数直線の矢印は、ベクトルの「向き」を示していて、基準点からみて、その「向き」と同じ向きのものを「正」、逆向きのものを「負」として表してるわけです！

正確をきすなら、あるベクトルe↑を基準としてそれを何倍にしたか、が数直線です。

これは、座標平面だろうが、何だろうが一緒です。

だから、本来的には、ベクトルでしか負の数は出てこないんです！

あれ？　数式いじってると、簡単に負の数なんてすぐに出てくるけど？　って人もいるかもしれませんが、それも実は、ある同一ベクトル上の話だからなんです。

僕のどうでもいい講義はこんなところです。

僕としてはベクトルの話はしたくないんです。だって、「ベクトルa」のことを「a↑」と書くのが気持ち悪くて……

まあ、今回は前に話した、僕VS物理教師の話の補強のためです。

ベクトルとは、もともと、物理の考えであるために、数学ではスカラー積こと、内積の定義とか「？」な感じですが、物理の「仕事」の定義を知ると、まあ、納得出来るかな。

では、明日からは八月です(^-^)/